Álgebra linear Exemplos

$2 + 2 i$

Etapa 1

Calcule a distância de $(a, b)$ até a origem usando a fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{2^{2} + 2^{2}}$

Etapa 2

Simplifique $\sqrt{2^{2} + 2^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{4 + 2^{2}}$

Etapa 2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{4 + 4}$

Etapa 2.3

Some $4$ e $4$ .

$r = \sqrt{8}$

Etapa 2.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$r = \sqrt{4 (2)}$

Etapa 2.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$r = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Etapa 2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$r = 2 \sqrt{2}$

Etapa 3

Calcule o ângulo de referência $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{2}{2} |)$

Etapa 4

Simplifique $\arctan (| \frac{2}{2} |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Divida $2$ por $2$ .

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

Etapa 4.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$θ̂ = \arctan (1)$

Etapa 4.3

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$θ̂ = \frac{π}{4}$

Etapa 5

O ponto está localizado no primeiro quadrante, porque $x$ e $y$ são positivos. Os quadrantes são rotulados no sentido anti-horário, começando pelo lado superior direito.

Quadrante $1$

Etapa 6

$(a, b)$ está no primeiro quadrante. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{4}$

Etapa 7

Use a fórmula para encontrar as raízes do número complexo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Etapa 8

Substitua $r$ , $n$ e $θ$ na fórmula.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine ${(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$

Etapa 8.2

Combine $c$ e $\frac{{(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$

Etapa 8.3

Combine $i$ e $\frac{c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$

Etapa 8.4

Combine $s$ e $\frac{i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{3}$

Etapa 8.5

Remova os parênteses.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))))}{3}$

Etapa 8.5.2

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)))}{3}$

Etapa 8.5.3

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

Etapa 8.5.4

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

Etapa 8.5.5

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Etapa 8.5.6

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c) {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Etapa 8.5.7

Remova os parênteses.

$\frac{s i c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Etapa 9

Substitua $k = 0$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{2}$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{3})$

Etapa 9.2

Multiplique $2 π (0)$ .

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Etapa 9.2.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0 π}{3})$

Etapa 9.2.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0}{3})$

Etapa 9.3

Some $\frac{π}{4}$ e $0$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4}}{3})$

Etapa 9.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 9.5

Multiplique $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 9.5.1

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4 \cdot 3})$

Etapa 9.5.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

Etapa 10

Substitua $k = 1$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{2}$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{3})$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π}{3})$

Etapa 10.3

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Etapa 10.4

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Etapa 10.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Etapa 10.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.6.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 8 π}{4}}{3})$

Etapa 10.6.2

Some $π$ e $8 π$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{9 π}{4}}{3})$

Etapa 10.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{9 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 10.8

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 10.8.1

Fatore $3$ de $9 π$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 10.8.2

Cancele o fator comum.

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 10.8.3

Reescreva a expressão.

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

Etapa 11

Substitua $k = 2$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{2}$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (2)}{3})$

Etapa 11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π}{3})$

Etapa 11.3

Para escrever $4 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Etapa 11.4

Combine $4 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Etapa 11.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Etapa 11.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 16 π}{4}}{3})$

Etapa 11.6.2

Some $π$ e $16 π$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{17 π}{4}}{3})$

Etapa 11.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 11.8

Multiplique $\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 11.8.1

Multiplique $\frac{17 π}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4 \cdot 3})$

Etapa 11.8.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$

Etapa 12

Liste as soluções.

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$